Poker et théorie du Minimax : le succès par les mathématiques

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On ne compte plus les livres et vidéos consacrés au poker et à d’autres jeux de cartes. Vous y trouverez des myriades d’explications pour savoir quelles mains jouer, comment les jouer, des calculs de probabilités et des analyses psychologiques de vos adversaires.

Cependant, on néglige bien souvent l’un des aspects les plus fondamentaux de beaucoup de jeux de cartes.

Nous parlons du théorème du Minimax, une stratégie de prise de décision utilisée dans la théorie des jeux qui permet d’obtenir le meilleur résultat possible à chaque main.

Dans le cadre d’un jeu comme le poker, cela signifie à la fois maximiser ses gains lorsqu’on a une main forte, et minimiser ses pertes lorsqu’on a une main plus faible. C’est cette double-stratégie, maximiser et minimiser, qui donne son nom au théorème : Minimax.

La stratégie est au coeur de nombreux jeux de cartes, comme le bridge par exemple. Lors d’un tournoi de bridge, chacun des joueurs de la table joue les mêmes mains l’un après l’autre. A la fin du tournoi, les joueurs ont donc tous eu exactement les mêmes cartes en main, ce qui exclut totalement le facteur chance.

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A chaque instant il faut minimiser les pertes et maximiser les gains.

Dans ce type de jeu, où les joueurs sont sur un pied d’égalité absolu, l’utilité du Minimax est particulièrement manifeste. Ainsi, le joueur qui arrive à coordonner ses annonces à ses bonnes mains optimise ses chances de gagner.

Cependant, ce n’est qu’une partie du travail, puisque le meilleur joueur est également celui qui sait punir ses adversaires lorsqu’ils font des annonces qu’ils ne peuvent tenir.

Quant aux jeux dont la distribution est aléatoire, la chance disparaît également sur le long terme. D’après la loi des grands nombres, s’ils jouent un grand nombre de mains, tous les joueurs auront les mêmes cartes en main le même nombre de fois. Ainsi, plus vous et votre adversaire jouez de mains (pas forcément l’un contre l’autre), plus vous vous trouverez dans les mêmes situations. Ce qui signifie que les joueurs ont, à long terme, la même chance et/ou malchance et que l’importance du facteur chance diminue donc avec le temps.

La conséquence, c’est qu’il n’y a aucune raison de se réjouir d’avoir remporter un pot avec une très bonne main si vous n’avez pas remporté le maximum de jetons possible. Si vous ne le faites pas, vous perdez de l’argent sur le long terme.

D’un autre côté, les joueurs qui se braquent après une série de mauvaises cartes perdent également encore plus d’argent parce qu’ils n’exploitent plus les opportunités qui se présentent et ont déjà renoncé mentalement alors qu’ils pourraient défendre.

Assez de théorie, penchons-nous sur la pratique avec quelques exemples.

Stuation de départ : En cash game de No-Limit Hold’Em, les deux joueurs que nous suivons se retrouvent à la même table pour la première fois, chacun avec un tapis de 100 BB.

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Qu'importe la main, au poker tout est affaire de jeu optimal.

Exemple 1 : Le Joueur A a A K et relance de 3 BB. La grosse blinde suit. K 7 et 2 au flop. La big blinde checke. Quelle est la meilleure décision à prendre pour le Joueur A ?

Réponse : checker.

Je vous vois secouer la tête l’air sceptique, mais d’après la théorie du Minimax, c’est la seule décision raisonnable, et voilà pourquoi :

1. Le Joueur A aura presque toujours la meilleure main dans cette situation. Les seules mains de l’éventail de la grosse blinde qui pourraient battre le Joueur A sont 77, 22 et K7.

2. La grosse blinde a peu de chances d’avoir une main inférieure à KQ ou KJ s’il paye sur plusieurs tours.

Appliquer la théorie du Minimax dans cette situation vous permet de ne pas miser sur ce flop et d’économiser de l’argent.

Conclusion : en checkant après le flop, le Joueur A s’ouvre tout un éventail de possibilités.

- Le Joueur B, grosse blinde, interprète le check comme un signe de faiblesse et décide de bluffer à la turn ;

- Le Joueur B touche une main à la turn et pense avoir la meilleure main ;

- Le Joueur B a une paire de 8 ou de 9 en mains et se serait couché s’il y avait eu relance au flop, mais le check lui donne l’illusion qu’ils sont plus forts qu’en réalité.

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Représentation graphique de l'algorithme Minimax.

Cette main illustre parfaitement l’utilite du Minimax. Si le Joueur A a la meilleure main, il maximise ses gains, tout en minimisant ses pertes si ce n’est pas le cas.

Exemple 2 : Le Joueur A, au bouton, a K J. Le Joueur B, en début de parole, relance de 3 BB. A 8 et 2 sortent au flop, et le Joueur B mise 4 BB. Quelle est la meilleure décision à prendre pour le Joueur A ?

Réponse : ça dépend, mais surtout ne jamais se coucher.

Ici, suivre et relancer sont des options qui se défendent, selon l’éventail du Joueur B.

Mais surtout, analysons pourquoi le fold n’est pas une bonne option selon le Minimax.

Il y a 7,5 BB dans le pot. Si le Joueur A se couche à chaque fois qu’il est dans cette situation, en 100 occurrences il finira par perdre 750 BB au profit du Joueur B.

S’il suit en revanche, il aura certes investi 4 BB supplémentaires, mais il économisera de l’argent, et voilà pourquoi : environ une fois sur trois, il y aura une couleur (et il aura sûrement le jeu max), auquel cas le Joueur A remporte au moins 11,5 BB. Sur 100 occurrences, cela représente un profit de 383,3 BB (11,5 x 33,33).

Dans les autres situations, il perd le pot. Sur 100 occurrences, cela représente un total de 766,6 BB (11,5 x 66,66). En soustrayant le profit des pertes, on obtient 383,3 BB, soit à peine plus de la moitié de ce que perd le Joueur A en se couchant systématiquement. Sans oublier les profits supplémentaires potentiels si le Joueur A touche la couleur et qu’il y a d’autres mises.

John von Neumann
John von Neumann considéré comme le fondateur de la théorie des jeux.

On touche donc à l’essence du Minimax : l’objectif n’est pas de gagner la main, mais d’obtenir le résultat optimal.

A partir de là, le but du poker est de gagner le plus d’argent et d’en perdre le moins possible.

C’est un principe assez facile à comprendre, même pour les débutants, même si au début vous allez peut-être faire de grosses relances avec une paire d’As et être déçu quand cela ne fonctionnera pas.

Mais maintenant vous savez que l’essentiel n’est pas la main, mais l’argent. De plus, le Minimax vous permet également de fixer le montant de vos relances pré-flop.

Difficile de fixer un chiffre en particulier, mais pas besoin d’être un professionnel pour savoir qu’il n’est pas très intelligent d’aller directement au tapis avec 100 BB.

Cela permettrait, en théorie, de minimiser les pertes au cas où les as seraient battus, mais pas de maximiser les gains puisque quasiment personne ne suivra un tel coup.

Au long terme, cela n’est donc pas profitable.

Débutants et joueurs confirmés doivent toujours garder le Minimax dans un coin de leur tête : il ne suffit pas d’avoir la meilleure main, encore faut-il optimiser votre jeu.